1、外文原文及翻译 FIR 滤波器设计技术 摘要 这份报告列举了一些设计 FIR 滤波器所使用的技术。首先讨论了窗函数法和频率取样法的优点和缺点。 FIR 数字滤波器也包含了许多优化设计的方法，这些优化技术减少了在频率采样时非采样频率点的误差频率。对于用于设计数字滤波器的技术，例如 matlab，进行了简明扼要的探讨。 介绍 FIR 滤波器的系统函数是一个 1z 的多项式，因 FIR 滤波器的频率响应是频率的实函数，也称其为零相位滤波器。 N 阶 FIR 滤波器的系统函数表示为 （ 1） FIR 滤波器是十分重要的，可应用于精确线性相位相应。 FIR 滤波器的实现方式保证了它是一个稳定的滤波器。
2、FIR 滤波器的设计可分为两部分： （ i） 近似问题 （ ii） 实现问题 解决近似问题，要通过四个步骤找出传递函数： （ i） 在频域内找出期望的或最理想的反应 （ ii） 选择滤波器的阶数（ FIR 滤波器的长度 N） （ iii） 选择近似结果中较好的 （ iv） 选择一种算法寻找最优的滤波器传递函数 选择部分结构 处理实现传递函数的形式可能是线路图或程序。 本质上来说，有三种著名的 FIR 滤波器设计方法： （ 1） 窗函数法 （ 2） 频率取样法 （ 3） 滤波器的优化设计 窗函数法 在该方法中， Park87,Rab75, Proakis00从理想的频率响应 Hd（ w）出发，
3、一般来说，单位脉冲相应 hd（ n）的持续时间是无限的，所以在某种程度上说，它必须截断。 n=M-1 约束着 FIR 滤波器的长度 M。以 M-1 截断的 hd（ n）乘以窗函数就得到了滤波器的单位脉冲响应。 矩形窗口的定义为 w(n) = 1 0 n M-1 (2) = 0 其它 FIR 滤波器的单位脉冲相应为 h(n) = hd(n) w(n) (3) = hd(n) 0 n M-1 = 0 其它 现在 ,多元化的窗函数 w(n)与 hd(n)相当于 hd(w)与 w（ w）的卷积，其中， w（ w）是窗函数的频域表示 。 因此 Hd(w)与 w(w)的卷积为 FIR 数字滤波器 的截断后
4、的频率响应 (4) 频率响应也可以利用以下的关系式 (5) 由于非均匀收敛的傅里叶级数的不连续性，其自身的波纹前后有一种近似于不连续的频率响应，因此直接截断的 hd(n)来获得 h(n)将导致吉布斯现象。与此同时，利用（ 5）得到的频率响应在频域内有波纹的振荡。为了减少波纹， hd(n)不是乘以一个矩形窗口 w(n)，而是乘以一个含有圆锥和逐渐衰减到零的窗口。作为主体的序列的 hd(n)和 w(n)在时域内的卷积相当于其在频域内的乘积，其效果是平滑的。 滤波器的窗函数的傅里叶系数对滤波结果的频率响应的影响如下： （ i） 一个主要 的结果就是过渡带的不连续的两边出现中断 （ ii） 过渡带的宽
5、度取决于窗函数的频率响应的主瓣宽度 （ iii） 滤波器的频率响应是通过卷积关系得到的，可以肯定的是，由产生的滤波器绝不是最佳的 （ iv） 随着 M 的增加，其主瓣宽度降低从而降低了过渡带的宽度，但是这也过滤掉了更多的脉冲频率响应。 （ v） 窗函数消除边缘响应引起的效果，并以较低的旁瓣代价增加过渡带的宽度 1. Bartlett 三角窗： 2. 广义余弦窗 3. Kaiser 窗 表一 从 Park87得到的系数 Window a b C Retangular 1 0 0 Hanning 0.5 0.5 0 Hamming 0.54 0.46 0 Blackman 0.42 0.5 0.0
6、8 Bartlett 窗 函 数 的 设 计 减 少 了 信 息 的 误 差 ， 但 其 过 渡 带 较 宽 。Hanning,Hamming 和 Blackman 窗的使用会更好，它们可以用于复杂的余弦函数，并可以提供理想的光滑截断的脉冲响应和频率响应。研究的结果表明，最佳的窗函数可能是有一个参数的 Kaiser 窗，它可以实现衰减和过渡带宽度的妥协。 窗函数的主要优点是它们比起其它方法更加的简单，且易于使用。事实上，计算窗函数的明确的方程 系数就可以成功的使用该方法。 在使用窗函数来设计滤波器时，会遇到三个问题： （ i） 该方法只适用于 Hd(w)是绝对可积 的情况，即只有（ 2）式可以
7、评估。当 Hd(w)是复杂的或不能轻易被 评价的 闭合形式 ，写出 Hd(n)的数学表达式就变得困难了。 （ ii） 使用窗函数的灵活性比较差，例如，在低通滤波器的设计中，通频带的边缘频率一般不能用窗口完全掠过不连续区域。因此理想低通滤波器的截止频率，是通带截止频率 f1 和阻带截止频率 f2 相关的一个频率响应。 （ iii） 窗函数法在设计标准滤波器，例如低通、高通、带通，是很有用的。但这也使其在语音、图 像处理的程序上的应用是十分有限的。 频率取样技术 在该方法中， Rad75、 Park87、 Proakis00是按照前面的方法提供理想的频率响应。现在，是在给定的频率响应中取一系列等间隔的频率，用以得到 N的取样。因此，采样频率的响应 Hd(w)在其本质上是给了我们 Hd(2pnk/N)。因此，利用该滤波器可以计算出下面的公式：
