1、 1 带有垂直传染和接种疫苗 SEIRS 流行病模型的全局稳定性 Global Stability of an SEIRS Epidemic Model with Vertical Transmission and Vaccination 作者： 苟清明 刘春花 起止页码： 56-61 出版日期 (期刊号 )： 2010 年 11 月 (1673-9868) 出版单位： 西南大学学报 ( 自然科学版 ) 外文翻译译文： 摘要 ： 本文建立一个考虑了疾病的水平传播和垂直传播以及接种疫苗等因素的传染病模型，通过排除周期解、同宿轨和 异宿环的存在来研究模型的全局稳定性， 最后证明系统的全局动力学特性
2、完全由基本再生数 0R 所确定：当 0 1R 时，无病平衡点是全局渐近稳定的；当 0 1R 时，地方病平衡点是全局渐进稳定的 . 关键词：传染病模型；垂直传播；疫苗；全局稳定性 中图分类号： O17513 文献标识码： A 在许多传染病模型中，总是假设人口传染病是通过直接接触感染源或通过诸如蚊子等媒介叮咬，或 通过水平传播 .但是许多传染病不仅有水平传播还有垂直传 .垂直传播也可通过媒介的胎盘转移完成，如乙肝，风疹，疱疹的病原体 .对昆虫或植物而言，往往是通过垂直传播如卵或种子 .Busenberg等人讨论了疾病的水平传播和垂直传播问题 .在本文中，我们假设疾病既有水平传播又有垂直传播 .我们
3、假定人口具有指数出生，人口被均匀分为四个仓室： 易感染者 (S)，潜伏者 (E)，染病者 (I)和恢复者 (R). 因此总人口为 N t S t E t I t R t . 我们认为这种疾病不是致命的，人均自然出生率和死亡率分别记为参数 b和 d.我们假设，潜伏者的新生儿进入易感者类，而染病者的新生儿有 q比例是感染者 .因此进入潜伏者类的新生儿为 bqI， 01q.对于染病者类，我们假设 比例的染病者具有永久免疫力，进入 R类， r比例的染病者没有免疫力，进入 S类 ， 模型假设易感者类的接种比例为 . 根据上述假设，得到如下微分方程 2 ,.sS b N I b q I d S S r I
4、NSE I b q I d E ENI E d I I r IR I I d R (1) 这里 是常规接触率，参数 是从 E 类到 I 类的转换率 .参数 b， d， ， 为是正数， ， r 为非负数 . 设 x=S/N； y=E/N； z=I/N和 =R/N分别表示 S， E， I， R在总人口中的比例 .易证 x， y， z，满足下列微分方程 ： x b b x x z b q z x r zy x z b q z b y yz y b z z r zw z x b w (2) 受 1x y z w 的限制，由于变量 不出现在方程组（ 2）的前三式中，这使我们减少方程（ 2）得到一个子式
5、. x b b x x z b q z x r zy x z b q z b y yz y b z z r z (3) 在可行的区域内，我们从生物角度研究 (3)式 , , : 0 , 0 , 0 , 1V x y z x y z x y z (4) 在 V中 (3)式的动态学行为和疾病传播是由如下基本再生数决定的 0B q bRb b b r (5) 本文的目的是要证明 (3)的动力学行为由 0R 决定 . 1 数学框架 我们简要概述一个一般的数学框架，证明了一个常微分方程系统的全局稳定性，这是在文献 3中提到的 . 3 令 nx f x R是一个 1C 函数， x属于开集 . nDR 让我
6、们考虑如下微分 x f x (6) 我们记 00,xx是式 (6)中使得 000,x x x的一个解 .如果每个对于 KD 和充分大的 t， 10,x K K则 (6)式中集合 K收敛于 D. 我们提出两个基本假设： 1H 存在一个紧的吸引集合 KD. 2H 在 D中 (6)具有唯一的平衡点 x . 若 x 是局部稳定且在 D中所有的轨迹收敛到 x ，则唯一的平衡点 x 是全局稳定的 . 对于可行区域是有界圆锥体的传染病模型， 1H是等价于 (6)的一致持久性 . 对于 x D，设 x P x 是一个22nn 矩阵值函数为 1C 的 .假设当 x K， K为紧集时， 1Px 存在，且为连续的 .一个数量 2q 定义为 02 001l i m s u p s u p ,t x Rq B x s x d st (7) 211f fB P P P Px (8) 矩阵fP是通过 P沿 f方向的导数来代替 P的每个元素ijP得到的，ijP、 f 和 2fx是第二加性复合矩阵 f的雅可比矩阵 fx和及 (B)是 B的 Lozinskii测度，其向量范数为 89NR 中的范数 . 文献 3中定理 3.5给出了如下全局稳定性结果 . 定理 1 设 D是单连通的，而且假设 1H， 2H成立 .如果 2q 0的，则 (6)的唯一的平衡点 x 在 D是全局稳定的 .
