1、PDF外文：http:/ 中文3400字1 浙江师范大学本科毕业设计 (论文 )外文翻译 译文： 分数阶导数的儿童乐园 Marcia Kleinz , Thomas J. Osler 大学数学学报（美国）， 2000 年 3 月， 31 卷，第 2 期，第 82-88 页 1 引言 我们都熟悉的 导数 的 定义 。通常 记作 1() ()d f x D f xdx 或 2 22() ()d f x D f xdx 或 这些都是 很容易理解 的 。我们 同 样 也 熟悉 一些有关导数的性质，例如 ( ) ( )
2、 ( ) ( )D f x f y D f x D f y 但是像这样的记号 1 / 2 1 / 21 / 2() D ( )d f x fxdx 或 者又代表什么意思呢？ 大多数的读者 之前肯定 没有遇到 过导数的阶数是 1/2的。 因为几乎没有任何教科书 会 提到它。然而，这个概念早 在 18世纪， Leibnitz已经开始探讨 。 在之后的岁月里，包括 LHospital, Euler,Lagrange, Laplace, Riemann, Fourier, Liouville等 数学大家和其他一些数学家也出现过或者研究过的概念。现在 ， 关于 分数微积分 的 文献 已经 大量 存在。近
3、期 关于 分数微积分 的 两本研究生 教材也出版了 ， 就是参考文献 9和 11。此外，两 篇 在会议上发表的论文 7和 14也 被 收录 。 Wheeler在文献 15已编制了 一 些 可读 性较强，较易理解的资料 ， 虽然 这些都 还 没有 正式 出版。 本 论 文 的目的是想用一种亲和 的 口吻去 介绍分数 阶 微积分 。 而不是 像平常教科书里面的从定义 -引理 -定理的方法 介绍它。 我们 寻找了 一个 新的 想法 去介绍 分数 阶 导数 。 首先 我们从 熟悉的 n 阶导数的例子 开始，比如 Dn ax n axe a e 。 然后 用其他数字取 代 自然 数字 n。
4、这种方式， 感觉 像 是 侦探 一样 ， 步步深入。 我们将 寻求蕴含在这个 构思 里面的 数学结构。我们 在 探 讨了各种思路，对分数阶导数 的概念 后，才 对分数 阶 导数 给出 正式定义 。 （ 如果想 快速浏览 它的 正式定义 ，请参见 米勒 的优秀论文，参考文献 8。） 随着 探究的深入 ，我们 会不时地让 读者去思考一些问题。对这些问题的答案 将 在本文的最后一节 呈现 。 那 到底什么是一个分数 阶导数呢 ？让我们 一起 来看看 吧 2 指数函数的分数阶导数 我们将首先研究指数函数 axe 的导数 。 因为他们 导数的形式，比较 容易 推广
5、。我们熟悉 axe的导数的 表达式。 1 2 2 3 3,a x a x a x a x a x a xD e a e D e a e D e a e ， 在一般情况下，当 n 为整数 时，n ax n axD e a e 。 那么 我们能不能 用 1/2 取代 n，并记作 1/ 2 1/ 2ax axD e a e 呢？我们何不尝试一下 ？为什么不更进一步，让 n 是 一个 无理数或 者 复数 比如 1+i？ 2 我们大胆地写 作 ax axD e a e ，
6、; （ 1） 对任意一个 ， 无论是 整数， 有理数 ， 无理数 ， 还是复数 。当 是负整数 时， 考虑 （ 1）式的 意义是 很 有趣的。我们 自 然希望 有 1( ( )a x a xe D D e 成立。因为 1( ( )a x a xe D ea ，所以我们有 1 ()a x a xD e e d x 。同理 2 ()a x a xD e e d x d x 。 当 是负整数 时，我们将 D 看作是n 次迭
7、代 的 积分是合理。 当 是正实数， D 代表导数，当 是负实数， D 代表积分。 请注意，我们还没 对 一般 函数给出 分数 阶 导数的定义。但是，如果这一定义被发现，我们期望指数函数 的分数阶导数 遵循关系 式 （ 1）。我们注意到，刘维 尔 在他的论文 5和 6中就是 采用这种方法 去考虑微分的 。 问题 问 题 1： 在 上述 情况下 ， 1 2 1 21 2 1 2()a x a x a x a xD c e c e c D e c D e 成立吗？ 问题 2： 在 上述 情况下 ， a x a xD D e D e 成立吗？ &nbs
8、p;问题 3： 上述 1 ()a x a xD e e d x 和 2 ()a x a xD e e d x d x ， 真的 正确吗？还是 遗漏 了一些东西 ？ 问题 4：用蕴含在（ 1）式 的想法 ，怎样对一般性的函数求分数阶导数？ 3 三角函数：正弦函数和余弦函数 我们 对于 正弦函数的导数很熟悉： 0 1 2s i n s i n , s i n c o s , s i n s i n ,D x x D x x D x x 这 些对于寻求 1/2 sinDx，并 没有明显的 规律。 但 是，当我们画出这些函数的 图形 时，会挖掘出其中的规律 。 即
9、 每 当 我们 求一次微分 ， sinx 的 图像向 左 平移 /2 。 所以对 sinx 求 n 次微分，那么得到的图像就是 sinx 向 左 平移 /2n ， 即得到 s i n s i n ( )2n nD x x 。如前， 我们 用任意数 替换正整数 n。所以，我们 得到 正弦 函数的任意 次导数的表达式 ， 同理我们也得到 余弦 函数的： s i n s i n ( ) , c o s c o s ( ) .22D x x D x x
10、（ 2） 在 得到表达式 （ 2） 之后 ， 我们 自然 想 ， 这个 猜测与指数 函数的 结果 是否保持 一致。 为了验证这个猜测 ，我们可以使用欧拉 公式 c o s s inixe x i x。利用表达式 （ 1），我们可以计算 得 3 到 ( / 2 ) c o s ( ) s i n ( )22i x i x i i xD e i e e e x i x ，这与（ 2）式是吻合的。 问题 问题 5： sin( )D ax 是什么 ？ 4 px 的导数 我们现在看看 x 次方的导数。 我们 以 px 为例 有 ：
11、 0 1 2, , ( 1 ) , ,( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) . ( 3 )p p p p p pn p p nD x x D x p x D x p p xD x p p p p n x 表达式 （ 3） 用连乘 ( )!pn 的 分子 和 分母 去替 换，则得到 结果 如下 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) 1 ! ( 4 )( ) ( 1 ) 1 ( ) !p p n p np p p p n p n p n px x xp n p n p n 上式就是 npDx 的一般表达式 。 我们 通过伽玛 函数 ，用任意数 替换正整数 n
12、。当（ 4） 式中的p 和 n 是不是自然数 时，伽玛 函数 使他们在替换后任然有意义 。伽马函数 是 欧拉 在 18 世纪 引进的概念 。当时是推广记号 !z ，当 z 不是 整数 时。 它 的定义是 10( ) dtzz e t t ，它 具有 这 样的性质 ( +1) !zz。 那么 我们可以 将表达式 （ 4） 重新写作 ( 1 ) ,( 1 )n p p npD x xpn 这使得当 n 不是整数 式，（ 4）式还是 有意义的 。 所以 对于任意的 ， 我们 写作 ( 1 ) ( 5 )( 1 )pp pD x xp 利用 （ 5） 式 ，我们 可以将 分数 阶 导数 延伸到很多的函数 。 因为对于任意给定的函数，我们可以利用 Taylor 级数展开 成多项式 的形式，0( ) ,nnnf x a x 假设我们 可以对 ()fx进行任意次微分，那么我们得到 00( 1 )( ) . ( 6 )( 1 )nnnnnnnD f x a D x a xn 最终 那个 表达式 （ 6）呈现出具有 作为 分数阶导数定义候选项的气质。因为大量的函数都
