1、共 19 页 河 南 理 工 大 学 数 学 与 信 息 科 学 学院 本科毕业论文 第 1 页 指导教师：牛海峰 学生：傅鹏 幂法求解矩阵主特征值的加速方法 傅鹏 河南理工大学 数学 与信息科学 学院 信息与计算科学专业 2009 级 1 班 摘要： 本论文主要研究的是幂法求解矩阵的主特征值和特征向量。物理、力学和工程技术中有许多需要我们求矩阵的按模最大的特征值（及称为主特征值）和特征向量。幂法是计算一个矩阵的模最大特征值和对应的特征向量的一种迭代方法。它最大的优点是方法简单，适合于大型稀疏矩阵的主特征值，但是收敛速度非常慢。所以我们要用加速的方法来加速收敛，加速方法包括原点平移加速、Ray
2、leigh 商加速和 Aitken 加速算法。 关键词： 幂法 ；原点平移加 速； Rayleigh 商加速； Aitken 加速算法 1 引言 我们来介绍矩阵特征值和特征向量的计算方法，大家知道求一个矩阵的特征值的问题实质上是求一个多项式的根的问题，而数学上已经证明 5 阶以上的多项式的根一般不能用有限次运算求得。因此，矩阵特征值的计算方法本质上都是迭代，而对于大型的稀疏矩阵就需要用幂法求解最简单。但是 由于 收敛速度非常的慢所以我们需要用加速的方法加快收敛速度而本次论文也是针对加速问题来通过对几种方法的研究讨论。并且通过算法的实现来说明那种加速算法收敛得快，哪个计算量比较节省。 其实 本文
3、 主要讨论的问题是一个应用中常见的一类数值计算问题。 2 加速算法的背景 2.1 幂法 幂法是计算一个矩阵的模最大特征值和对应的特征向量的一种迭代方法。它适用于大型稀疏矩阵。 为了说明其基本思想我们先假设 nnAC 是可对角化的，即 A 有如下分解 1A X X 其中 1 1 2, , , , , nnnd i a g X x x C 非奇异，再假定 12 .n 现任取一向量 0 .nuC 由于 X 的列向量构成 nC 的一组基， 故 0u 可表示为 共 19 页 河 南 理 工 大 学 数 学 与 信 息 科 学 学院 本科毕业论文 第 2 页 指导教师：牛海峰 学生：傅鹏 0 1 1 2
4、2 ,nnu x x x 这里 .i C 这样，我们有 0211 1 12 1nkkjjjnkj j jjknjkjjjA u A xxxx 由此可知 0111lim .kkkAu x 这表明，当 1 0 而且 k 充分大时，向量 01kk kAuu 这是 A 的一个很好的近似特征向量。然而，实际计算时，这是行不通的，其原因有二：一是我们事先并不知道 A 的特征值 1 ； 二是对充分大的 k计算 kA 的工作量太大。所以找出一种工作量较小的方法，而幂法求解收敛速度很慢所以我们还要找出一种加快速度的算法。 迭代格式： 1,kky Au ,kkk j j 是 ky 的模最大分量， ,kk kyu 其中 0 nuC 是任意给定的初始向量，通常要求0 1.u 定理 2.1.1 设 nnAR 有 n 个线性无关的特征向量，主特征值 1 满足12 ,n 则对任何非零初始向量 0 0 1 0,vu按下面构造的向量序列 ,:kkuv 0010,1 , 2 , ,m a x ( ) ,kkkkkkkvuv A ukvvu 则有 (1) 1 1lim ,m a xkk xu x (2)1lim .kk (注：此定理证明参阅文献 5)
