1、 - 1 - 计算二重积分的几种方法 摘要 二重积分的计算是数学分析中一个重要的内容，其 计算方法多样、灵活，本文总结了二重积分的一般计算 方法和特殊计算方法 .其中，一般计算方法包括化二重积分为累次积 分和换元法，特殊计算方法包括应用函数的对称性、奇偶性求二重积分 以及分部积分法 . 关键词 二重积分 累次积分法 对称性 分部积分法 1 引言 本人 在家里的职业教育高中实习，发现这里有些专业的的学生要计算很多面积或者体积问题，已经 略微 涉及到大学的积分问题， 如曲顶柱体的体积，他们用最普遍的求面积 /体积的方法 求解，而用二重积分进行计算求解就会更容易理解，方法 和步骤 也带给学生一个新的
2、认知领域。职业教育的学生在大学知识中解决实际问题应用积分的方法更频繁 。 在解决一些几何、物理等的实际问题时，我们常常需要各种不同的多元实值函数的积分，而二重积分又是基本的、常见的多元函数积分， 我针对自己在数学分析这门课程中的学习，总结了累次积分、根据函数对称性积分、元素法、分部积分法、极坐标下的积分等内容，以下是我对二重积分方法的总结。 2 积分的计算方法 2.1 化二重积分为两次定积分或累次积分法 定 理 1 若函数 ,f x y 在闭矩形域 ,R a x b c y d 可积，且 ,x a b ，定积分 ,dcI x f x y d y 存 在 ， 则 累 次 积 分 ,bdac f
3、x y d y d x 也 存 在 ， 且( , ) ( , )bdacRf x y d x d y f x y d y d x 证明 设区间 ,ab 与 ,cd 的 分点分别是 0 1 10 1 1i i nk k ma x x x x x bc y y y y y d 这 个 分法 记 为 T . 于 是 ，分 法 将 T 闭 矩 形域 R 分成 mn 个 小 闭矩 形 ， 小 闭 矩形记为 - 2 - 11( , ) ,1 , 2 , , ； 1 , 2 , , .i k i i k kR x x x y y yi n k m 设 1s u p , , i n f , . ,i k i
4、k i i iM f x y m f x y x x ，有 1,i k i i k k km f y M y y y .已 知一元函数 ,ify在 1,kkyy可积，有 11 ,ki k k i i k k k k kkm y f y d y M y y y y .将此 不 等 式 对 1, 2,km 相 加 ， 有 11 1 1,kkm m myi k k i i k kyk k km y f y d y M y ， 其 中 11 ,kkm ydi i iyck f y d y f y d y I ，即 11mmi k k i i k kkkm y I M y .再将此不等式乘以ix ，然后
5、对 1,2,in 相加，有 1 1 1 1 1n m n n mi k i k i i i k i ki k i i km x y I x M x y .此不等式的左右两端分别是分法 T 的小和 ()sT 与大和 ()ST ，即 1niiis T I x S T . (1) 已知函数 ,f x y 在 R 可积，根据定理有 00l i m l i m ( , ) ,TT RS T s T f x y d x d y 又不等式（ 1）， 有 0 1l i m ,niiT i RI x f x y d x d y ，即 , , .b b da a cRf x y d x d y I x d x f
6、 x y d y d x 类似地，若 ,f x y 在闭 矩形 域 ,R a x b c y d 可积 ， 且 ,y c d 定积分存在，则累次积分 ,dbcaf x y d x d y ， 也存在，且 ,dbcaR f x y d x d y f x y d x d y . 也可将累次积分 ,bdac f x y d y d x与 ,dbca f x y d x d y分别记为 ,bdacd x f x y d y和 ,dbcad x f x y d y . 定义 1 设函数 12,xx在闭区间 ,ab 连续；函数 12,yy在闭区间 ,cd 连续，则区域 12, , ,x y x y x x a b 和 12, , ,x y y x y y c d 分别称为 x型区域和 y 型区域 .如下图（ 1）和（ 2）所示 .
