1、大学数学 毕业论文 (设计 ) _ 第 1 页（共 10 页） 浅谈均值不等式在生活中的应用价值 摘 要 均值不等式是数学中一个重要的不等式，它的许多性质对解决数学问题都有很大的帮助，在现实生活中也有着广泛的应用 .而且形式众多，主要体现在度量方面、造价销售方面、决策判断方面、足球射门等方面，只要我们善于思考，必将发现均值不等式在生活中有更多更广的应用价值 . 关键词 均值不等式 平均数 最值 生活 应用 一、引言 均值不等式是数学中一个重要的不等式 .它的许多性质对解决数学问题都有很大的帮助，在现实生活中也有着广泛的应用 .可以说，均值不等式的发现、验 证和应用也是数学文化的精髓所在 .这对
2、于我们来说是一项巨大的财富 .但是我们要注意，求解最值时请一定要注意相等的条件，若多次利用均值不等式求解最值，则必须注意这些不等式等号成立的条件是否一致，只有在一致的条件下才有可能达到最值 . 二、均值不等式的 有关 概念与结论 （一） 几种平均数的概念 这几种平均数在高中的课程中就已经有介绍了，分别为 算术平均数、 几何平均数、调和平均数和 平方平均数 .，它们的定义如下： 定义一：若 naaa , 21 均为正数，我们就称n aaa n 21为 naaa , 21 的算术平均数 . 定义二： 若 naaa , 21 均为正数，我们就称naaa 21为 naaa , 21 的几何平均数 .
3、定义三：若 naaa , 21 均为正数，我们就称naaan11121 为 naaa , 21 的调和平均数 . 定义四 :若 naaa , 21 均为正数，我们就称n aaa n22221 为naaa , 21 的平方平均数 . (二 )均值不等式的重要结论 均值不等式是不等式中比较重要的一类不等式，也是应用比较广的一类不等式，下面将给出一般的结论和常用的结论，以及均值不等式在求最值时实用的定理 .均值不等式在数学中不同的地方有不同的具体形式，但是万变不离其宗，它们都是有规律可循的 . 对于上述四种平均数：算术平均数、几何平均数、调和平均数和平方平均数的大小比大学数学 毕业论文 (设计 )
4、_ 第 2 页（共 10 页） 较，我们有一般的结论： ),(111 2122221212121Raaan aaan aaaaaaaaannnnnnn, 当且仅当 naaa 21 时，不等式取“ ”号，这几个数依次为调和平均数、几何平均数、算数平均数、平方平均数 .在实际解题中， 2n 和 3n 两种情况是最常见的，特阐述如下： 当 2n 时，我们可以得到一个一般的 二元均值不等式 ),(22112212221212121Raaaaaaaaaa， 通常写作 ),(2211 2 22 Rbababaabba. 但是通常我们用的最多的是上述的变式，如 )1( ),(222 Rbaabba ； )2
5、( 2)2( 222 babaab . 特别地，当且仅当 ba 时，上述的“ ”才成立 . 当 3n 时，我们可以得到一个一般的三元均值不等式： ),(33111 3 2223 Rcbacbacbaabccba，同二元均值不等式一样，也有变式如下： )1( ),(3333 Rcbaa b ccba ； )2( ),(3 3 Rcbaabccba ； )3( ),()3( 3 Rcbacbaabc . 特别地，当且仅当 cba 时，上述的“ ”才成立 . 有上述的一般结论和变式可以推得：当两个正数的和一定时，其其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值，我们称其为最值定理 . 三、利用均值不等式解决应用性问题
