1、1 基于 UKF 的非线性状态估计问题研究 吕保强 （陕西师范大学 物理学与信息技术学院 陕西 西安 710062） 摘 要 ： 介绍了卡尔曼滤波器的理论， UT (Unscented Transformation) 的基本思路与基本算法、以及 UKF（ Unscented Kalman Filtering）的理论分析和算法。针对非线性、高精度测量的环境，文 中 选用了一个雷达对目标跟踪的非线性估计的例子进行研究 , 并对 UKF 和 EKF(Extended Kalman Filtering)两种跟踪算法进行了仿真， 比较了 两者在非线性状态估计中的滤波性能和特点，结果表明：在强非线性高斯系
2、统 ,UKF 的滤波精度要高于 EKF。 关键词 : 卡尔曼滤波器 ； UT； UKF；非线性； EKF 1 绪论 1.1 引言 在滤波器的发展过程中，早期的维纳滤波器涉及到对不随时间变化的统计特性的处理，即静态处理。在这种信号处理过程中，有用信号和无用噪声的统计特性可与它们的频率特性联系起来，因此与经典滤波器在概念上还有一定的联系。 维纳滤波采用频域设计法，运算复杂，解析求解困难，整批数据处理要求存储空间大，造成其适用范围极其有限，仅适用于一维平稳随机过程信号滤波。维纳滤波的缺陷促使人们寻求时域内直接设计最优滤波器的新方法，其中美国学者R.E.Kalman 的研究最具代表性。 1960 年，
3、 R.E.Kalman 提出了离散系统的 Kalman滤波 ；次年，他又与布西 (R.5Bucy)合作，把这一滤波方法推广到连续时间系统中，从而形成 Kalman 滤波估计理论 1 。与维纳滤波不同，卡尔曼滤波是对时变统计特性进行处理，他不是从频域，而是从时域的角度出 发来考虑问题。 卡尔曼滤波是属于现代滤波技术的一种状态估计手段，本质上来讲滤波就是一个信号处理与变换，去除或减弱不想要的成分，增强所需成分的过程，这个过程既可以通过硬件来实现，也可以通过软件来实现。卡尔曼滤波属于一种软件滤波方法，其基本思想是以最小均方误差为最佳估计准则，采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和当前时
4、刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出当前时刻的估计值，根据该算法建立的系统方程和观测方程对需要处理的信号做出满足最小均方误差的估计。 目前，卡尔曼滤波理论广泛应用于航空航天、导航定位、目标跟踪、控制等各种领域。由于实际系统大多数是非线性系统，而最初提出的卡尔曼滤波算法仅适用于线性观测的线性系统。为了解决这一问题，人们开始研究把卡尔曼滤波器2 应用到非线性系统中，为此 Bucy 等人提出了非线性条件下的 EKF (Extended Kalman Filtering) 2 。应用于非线性系统 的 EKF 算 法对于非线性的系统方程或观测方程进行泰勒展开，并取其一阶近似项。这样做之后，不可避免地引
5、入了线性化误差，当线性化假设不成立时，采用这种算法会导致滤波器性 能下降甚至造成发散。另外，在一般情况下计算系统状态方程和观测方程的 Jacobian 矩阵或Hessians 矩阵是很困难的，增加了算法的计算复杂度。为了解决 EKF 中存在的问题。 Julier 和 Ohlmann 提出了一种新的适合于非线性系统的滤波器 UKF 3。UKF 是针对非线性系统的一种改进型卡尔曼滤波器。 UKF 处理非线性系统的基本思路在于 无味 变换，而 无味 变换从根本上讲是一种描述高斯随机变量在非线性化变换后的概率分布情况的方法。 UKF 认为，与其将一个非线性化变换线性化、近似化，还不如将高斯随机变量经非
6、线性变换后的概率分布情况用高斯分布来近似那样简单，因而 UKF 算法没有非线性化这一步 骤。 UKF 按照一套公式产生一系列样点 (sigma 点 )，每一样点均配有一个相应的权重，而这些 带权的样点被用来完整地描述系统状态向量估计值的分布情况，它们替代了原先卡尔曼滤波器中的状态向量估计值及协方差。 UKF 让这些样点一一经历非线性状态方程与测量方程，然后再将这些经非线性变换后的样点按照它们的权重而综合出对当前时刻的系统状态向量估计值。 准确的、稳定的、高精度的 卡尔曼滤波器，是获取系统状态以及各种信息的必要条件。然而由于种种原因，正如前面所说，一般的 UKF 滤波器在复杂多变的环境中，现有的
7、卡尔曼滤波器难以起到良好的效果。为了能够在各种复杂环境下，使得传统的卡尔曼滤波器的应用领域得到延伸，人们对传统的卡尔曼滤波器做出了许多改进。高精度、高稳定性的卡尔曼滤波器是实现控制系统状态估计的关键技术之一，因此提高 UKF 滤波器的精确性、跟踪能力具有重要意义。 1.2 本文的主要研究内容及结构 本文主要针对 UKF 的 基础理论及其在 非线性系统中 应用做 了 一些研究。在介绍 UKF 论的基础上，对其在 跟踪目标 等 方面的滤波性能 进行了有益的 研究 。各 小节 的主要内容安排如下 : 论文的主要 研究内容 如下： 第一部分 简述了估计理论及卡尔曼滤波理论的提出、发展及应用 ，以及无味变换的提出及发展过程。 第二部分主 要介绍 UKF 基础理论， 依次 讲述了随机 非 线性离散系统的卡尔曼滤波理论，并 给出了 扩展卡尔曼滤波器的 数学模型， 接着 详细 介绍了 UT (Unscented Transformation)的理论 和算法分析，并在此基础上详细 推导了 UKF 基本方程 。
